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Qual a relação entre GPS e Teoria da Relatividade?


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        A Teoria da Relatividade Geral e Especial, diferente do que muitos tendem a assumir, não é apenas uma abstração matemática como a Teoria das Cordas (1). Ela é uma teoria Física e possui forte poder de predição em relação a fenômenos diversos, especialmente astronômicos, e traz reais impactos no nosso mundo tecnológico. E o exemplo mais notável nesse último caso está associado ao nosso sistema de posicionamento global, mais conhecido pela sua sigla em inglês 'GPS' (Global Positioning System).


        Indo direto ao ponto, uma das consequências da Teoria da Relatividade é a de que o tempo varia com a velocidade - consequência da Teoria da Relatividade Especial - e sob a influência da gravidade - consequência da Teoria da Relatividade Geral -, dependendo do referencial estabelecido. Ou seja, para um objeto se movendo mais rápido do que outro referencial, o tempo para esse objeto passa mais devagar. E para objetos interagindo com um mais forte campo gravitacional (próximo de um corpo com gigantesca massa, como um planeta, por exemplo) do que outro referencial, o tempo passa mais devagar para esses objetos. E isso já foi testado com sucesso diversas vezes com a ajuda de relógios atômicos, os quais registram nano variações temporais.

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         Para exemplificar, se você estiver em um avião, o qual viaja em altas velocidades, o tempo passará mais rápido para você do que alguém que esteja apenas andando no solo. Como ambos estão muito próximos do centro de gravidade terrestre, só a velocidade irá influenciar significativamente. Mas em velocidades que não são absurdas, como as experimentadas por nós em nosso cotidiano, as diferenças temporais sentidas são ínfimas, na casa dos nanosegundos (na escala de 1 segundo divido por 1000000000). Desprezando os efeitos gravitacionais, quanto mais próximo da velocidade da luz, mais essa diferença se tornaria expressiva. Se uma nave espacial viajasse com 90% (algo em torno de 270 mil km/s) da velocidade da luz, uma viagem com duração de 10 anos na Terra, significaria apenas 4 e meio para os tripulantes da nave! Para 95%, teriam se passado 3,125 anos para os tripulantes. Para 99%, 1,410 anos. Para 99,9%, 26 minutos e 56 segundos! Quanto mais próximo da velocidade da luz, o tempo começa a variar em exponencial. Para 99,9999%, a viagem de 10 anos na Terra duraria apenas 16 segundos para os tripulantes! Ou seja, passariam 10 anos e eles não envelheceriam quase nada! A equação derivada da Teoria da Relatividade Especial para a dilatação temporal por velocidade, encontra-se no esquema abaixo.



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         Em termos gravitacionais, o raciocínio é quase o mesmo. Próximo de um Buraco Negro, cuja gravidade é absurda e, praticamente, imensurável, o tempo também desaceleraria ao extremo, sendo impossível imaginar como o espaço-tempo realmente se comporta em seus domínios (Região de Eventos). Ou seja, sob a ação de um campo gravitacional o tempo passa mais devagar (redshift gravitacional), e quanto menor o potencial gravitacional - por exemplo, quanto mais próximo estamos de um objeto massivo -, mais devagar se passa o tempo em relação a um referencial infinitamente distante do campo gravitacional considerado. A equação matemática que expressa essa relação - derivada da Teoria da Relatividade Geral - encontra-se demonstrada abaixo.




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         Ah, e agora o efeito prático dessa bagunça física toda. Nosso sistema de GPS só funciona por causa da Relatividade! Por quê? Bem, existem dois aspectos acima discutidos atuando nos satélites de GPS. Um é o gravitacional: esses satélites estão em órbitas extremamente afastadas da superfície da Terra, tornando os efeitos gravitacionais sentidos por eles significativamente menores. O outro é a grande velocidade de translação em volta do nosso planeta, algo em torno de 14 mil km/h. A menor gravidade sentida pelos satélites faz o tempo acelerar em 45 microssegundos e a alta velocidade desacelera o tempo em 7 microssegundos , em relação a um referencial na superfície da Terra. Com isso, tirando a diferença, os satélites estarão adiantados em 38 microssegundos em relação aos habitantes terrestres. Parece pouco, mas os satélites de GPS (quatro no total) precisam estar com alta precisão em seus relógios (eles usam relógios atômicos), para funcionarem bem. Caso não fossem feitas correções nos cálculos operacionais levando a teoria da relatividade em conta, erros gigantescos de acumulariam na precisão dos nossos GPS´s, algo em torno de 10 km todos os dias! Ou seja, se você pegasse seu smartphone e fosse ver sua localização pelo GPS, ele te daria uma posição com erros de dezenas de quilômetros de distância, caso a relatividade fosse ignorada.

Despreze a Relatividade, despreze seu GPS

            Portanto, na próxima vez que seu GPS te ajudar a chegar em uma festa, agradeça ao Einstein e e a outros notáveis cientistas que ajudaram a dar base para a teoria (Albert A. Michelson, Hendrik Lorentz, Henri Poincaré, Max Planck, Hermann Minkowski e outros).

Escala nanométrica: Na ordem de 10-9. No caso do tempo, seria na ordem de 10-9 segundos, ou seja, 1 segundo dividido por 1 bilhão de vezes.


   IDADE DO NÚCLEO DA TERRA

          Como estabelecido, o potencial gravitacional influencia a taxa na qual o tempo passa. Isso significa que uma medida hipotética da idade de um objeto massivo como o Sol ou a Terra resultaria em diferentes resultados dependendo se realizada na superfície ou no centro do objeto. Considerando a força/aceleração do campo gravitacional nula no centro da Terra, isso significa que o centro do nosso planeta, ao longo das eras, acumulou uma significativa diferença de idade em relação à sua superfície (menos decaimentos radioativos ocorreram no centro do que na superfície) via 'ação gravitacional acumulativa'.

          Uma diferença no potencial gravitacional implica em uma dilatação do tempo no ponto de menor potencial (no centro da Terra, a energia potencial é zero). Considerando uma abordagem mais realística da distribuição de densidade da Terra (PREM) - como explorado na resolução do problema do túnel gravitacional (1) - a diferença no potencial gravitacional será encontrada via integração da variação do potencial gravitacional associado às regiões consideradas como núcleo e como superfície. Em 2016, no periódico European Journal of Physics (Ref.9), pesquisadores da Universidade da Dinamarca e da Universidade de Copenhagen, realizaram esses cálculos, e o redshift gravitacional resultante mostrou que o núcleo da Terra é 2,49 anos mais jovem do que a sua superfície.



          Considerando a velocidade tangencial para uma Terra esférica durante sua rotação (velocidade tangencial na superfície da esfera de 464 m/s e um período de 86164099 s - em termos de dia estelar) e o fator de Lorentz, a diferença de idade entre o centro e a superfície ao longo dos 4,54 bilhões de anos de existência do planeta é de 0,005 anos (próximo de 2 dias, o que é desprezível em relação à diferença de tempo devido à diferença de potencial gravitacional). 


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           Usando o mesmo raciocínio para o Sol, e considerando o Modelo S para uma distribuição de densidade mais realística nessa estrela, os pesquisadores encontraram que o centro do Sol é quase 40 mil anos mais jovem do que a sua superfície.

(1) Leitura recomendada: Quanto tempo leva para você cair ao longo de um túnel atravessando a Terra?

Leitura complementar: O que é a Teoria da Relatividade Geral e Especial?

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REFERÊNCIAS CIENTÍFICAS
  1. http://spaceflight.nasa.gov/station/crew/exp7/luletters/lu_letter13.html
  2. http://www.ipgp.fr/~tarantola/Files/Professional/GPS/Neil_Ashby_Relativity_GPS.pdf
  3. http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2003-1/download/lrr-2003-1Color.pdf
  4. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/tdil.html
  5. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/gratim.html#c4
  6. http://www.awitness.org/unifiedm/introgrtd.html
  7. https://books.google.com.br/books?id=2QVmiMW0O0MC&pg=PA128&redir_esc=y&hl=pt-BR#v=onepage&q&f=false
  8. http://www.nytimes.com/2005/06/28/science/a-trip-forward-in-time-your-travel-agent-einstein.html
  9. Uggerhøj, U. I., Mikkelsen, R. E., & Faye, J. (2016). The young centre of the Earth. European Journal of Physics, 37(3), 035602. (Link)