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Quanto tempo leva para você cair ao longo de um túnel atravessando a Terra?


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          Imagine que foi construído um enorme túnel atravessando o centro da Terra e unindo um lado da superfície terrestre a outro, e em seu interior vácuo (resistência do ar nula). Se você jogasse um objeto dentro desse túnel, quanto tempo ele demoraria para chegar ao outro lado? Essa ideia do 'túnel de gravidade' foi proposta inicialmente por Cooper em 1966 no periódico American Journal of Physics (Ref.1). Desde então, outros pesquisadores buscaram também explorar o problema, tentando calcular qual o caminho mais curto para se alcançar o outro lado do túnel na queda livre, usando várias variáveis. O problema inclusive acabou se tornando um clássico exemplo de movimento harmônico simples a estudantes de ensino superior em disciplinas introdutórias à Física. Resolvendo o problema, a resposta é bem conhecida: 42 minutos para um objeto atravessar o túnel (trajetória retilínea).

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          Porém, uma consideração inicial sempre é feita para a resolução do problema do túnel de gravidade: uma densidade uniforme da Terra, em torno de 5500 kg/m3. Em outras palavras, supõe-se que a densidade da crosta, do manto ou do núcleo é sempre a mesma. Assim, isso faz o campo gravitacional ser linear em relação à posição radial, o que significa que o objeto em queda irá ser submetido a um movimento harmônico simples. Essa premissa, obviamente, é algo que foge muito da realidade da real estrutura do interior planetário.

          Nesse sentido, há alguns anos, o estudante graduado em Física da Universidade de McGill em Montreal, Canadá, Alexander Klotz, resolveu abordar o problema em três principais cenários, incluindo um mais realista e complexo. Klotz encontrou que a diferença de resultado entre o cenário realista e o de densidade uniforme é de 4 minutos. E o mais interessante: quando assumido um campo gravitacional constante ao longo da trajetória - o mais simplista dos cenários -, o resultado foi praticamente o mesmo do cenário realista! Os achados de Klotz foram também publicados no periódico American Journal of Physics (Ref.2), em 2015.

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Resposta: Em um cenário mais realista, um objeto demora cerca de 38 minutos para atravessar o interior da Terra em uma trajetória retilínea, passando pelo seu centro.
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   CAINDO PELA TERRA

          Na superfície da Terra, o valor da aceleração gravitacional (g) é de aproximadamente 9,8 m/s2. Esse valor, no entanto, varia significativamente com a distância do centro do planeta. A estrutura interna da Terra é descrita pelo modelo de referência preliminar da Terra (PREM, na sigla em inglês), este por sua vez baseado em dados sísmicos. Com o perfil de densidade radial ancorado no PREM, é possível reconstruir os perfis radiais de massa e de gravidade, como mostrado na figura abaixo.


          Como pode ser visto, a Terra é mais densa em direção ao seu centro (alcançando 13000 kg/m3) e exibe uma acentuada descontinuidade na densidade na fronteira do núcleo externo, diminuindo em quase 50%. Por causa dessa notável descontinuidade, a força do campo gravitacional g = 9,8) na verdade aumenta abaixo da superfície, alcançando um máximo de ~1,09 g, antes de diminuir de uma forma razoavelmente linear ao longo do núcleo até o centro.

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          Apesar da típica suposição de que a densidade da Terra é uniforme para a resolução do problema do túnel, uma suposição ainda mais simples pode ser feita: o campo gravitacional ser constante em magnitude ao longo do interior do planeta, sempre apontando no sentido do centro da Terra com uma força de 9,8 N/kg. E, obviamente, essa suposição entra ainda mais em conflito com os dados do PREM.

          Na análise de Klox, este usou três diferentes cenários para resolver o túnel de gravidade: modelo realista, densidade uniforme e gravidade constante.


   CALCULANDO

           O tempo gasto para a queda ao longo do túnel atravessando a Terra é geralmente calculado considerando que o nosso planeta possui densidade (p) uniforme. Nesse cenário, a força da gravidade (FG) agindo sobre uma massa m de teste a uma posição radial r vem da massa da esfera abaixo do objeto (várias cascas de raios cada vez menores à medida que o objeto se aproxima do centro), ou seja, a força gravitacional varia em proporção à distância do centro.


          Na equação acima, temos a constante gravitacional G (6,67 x 10-11 Nm2/kg2) (I), o raio da Terra R, e a força do campo gravitacional na superfície da Terra g (9,8 N/kg, ou 9,8 m/s2). Devido ao fato da força na equação ser linear em r, a massa de teste é submetida a um movimento harmônico simples (indo e voltando ao centro), com frequência angular:



          e com o período de oscilação sendo:



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(I) Leitura recomendada: Qual é hoje o valor mais preciso da constante gravitacional?

         Portanto, levaria 42 minutos para um objeto cair ao longo de uma Terra de densidade uniforme, com o pico de velocidade no centro próximo de 8 km/s (28800 km/h), mais de 30 vezes a velocidade de uma típica aeronave transatlântica.

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          Agora, considerando um campo gravitacional constante (em magnitude) no interior da Terra, então o tempo levado para a queda ao longo do túnel de gravidade pode ser encontrado via simples cinemática:


          Esse valor é mais curto do que o encontrado no cenário de densidade uniforme em cerca de 11%.

           Indo agora para o cenário realista, e usando os dados do PREM de perfil radial de gravidade, o cálculo para o tempo de queda é feito integrando a equação cinemática em qualquer posição radial pela interpolação linear entre os dois mais próximos pontos de referência do PREM. Para o cálculo, Klotz usou o programa MATLAB. Surpreendentemente, o valor encontrado foi apenas um pouco acima de 38 minutos, alguns segundos acima do cenário mais simplista e não-realístico!

- PREM: 38 min e 11 segundos;

- Gravidade constante: 38 min e 0 s;

- Densidade uniforme: 42 min e 12 s.


         Como isso é possível?

          Segundo Klotz, a força do campo gravitacional dentro da Terra não desvia muito do valor na superfície até mais da metade do caminho no sentido do centro. Assim, no momento em que o objeto em queda alcança esses campos gravitacionais mais fracos, sua velocidade é tão alta que ele acaba passando muito pouco tempo nessas regiões; ou seja, o objeto passa mais tempo viajando em regiões onde a aceleração da gravidade é próxima do valor superficial. Por isso a premissa considerando uma constante gravitacional constante funciona tão bem.


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IMPORTANTE: Os cálculos ignoraram algumas outras complicações, como a esfericidade da Terra, esta a qual leva a diferenças no raio e no campo gravitacional em relação à latitude (correção de ~10 segundos). Outro fator não levado em conta é a rotação planetária, impactando também em termos de diferenças latitudinais, e com correção em torno de 4 segundos (viagem de 42 min). No final, ainda é válido dizer que o tempo de queda no túnel de gravidade é de ~38 minutos.

> No estudo, Klotz também aborda outros problemas relativos ao túnel de gravidade, como a curvatura otimizada de forma a reduzir ao máximo o tempo de queda. Para mais informações, acesse a Ref.2
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REFERÊNCIAS CIENTÍFICAS
  1. https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1972773
  2. https://aapt.scitation.org/doi/full/10.1119/1.4898780
  3. https://www.sciencemag.org/news/2015/03/how-long-would-it-take-you-fall-through-earth